科目ナンバー

SE-AG4-1B32

履修条件・関連科目等

以下の項目は理解していることが望ましい。
1. 微積分
2. 線型代数
3. 位相空間論の初歩
4. 群論、環論の初歩

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

　位相空間に対して特異ホモロジー群、特異コホモロジー群をどのように定義し計算するか、その方法を学ぶ。
また、それに引き続き、
1. 単体的複体のホモロジー群、コホモロジー群との関係、
2. セル複体のホモロジー群、コホモロジー群との関係、
3. ホモロジー群、コホモロジー群から取り出される幾何学的な情報、
これらについて学ぶ。

科目目的

位相空間論、多様体論の学習の延長として、代数的な位相幾何学の入門として、ホモロジー論を学ぶ。特に特異ホモロジー論を学ぶことにより、抽象的、一般的な定義に慣れ、それを踏まえて具体的な計算に進めるようになることを目的とする。

到達目標

ホモロジー群を題材にして、図形の位相不変量というものの考え方を理解し、代数的位相幾何学の初歩を学び、理解する。

授業計画と内容

（１）位相幾何学とはどういう分野かの理解と位相空間論の応用
（２）位相空間の特異ホモロジー群の定義
（３）特異ホモロジー群の位相不変性(関手性)
（４）写像のホモトピー、位相空間のホモトピー型
（５）プリズム作用素とその自然性
（６）プリズム作用素を用いた特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明
（７）簡約ホモロジー群とホモロジー代数の初歩
（８）位相空間対の特異ホモロジー群の完全系列
（９）切除定理とマイヤー・ヴィートリスの完全系列
（１０）特異ホモロジー群の計算例
（１１）ホモロジー群の応用例：ユークリッド空間の次元、不動点定理
（１２）有限胞体複体のホモロジー群と例
（１３）有限胞体複体のホモロジー群と特異ホモロジー群の同等性
（１４）コホモロジー群とさらに進んだ話題から

授業時間外の学修の内容

その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

授業で扱った内容をよく復習し、よく理解しておくこと。
また、授業の進捗に合わせて出された演習問題を自分で解いてみること。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

達成基準：ホモロジー群の定義や基本的な性質を理解し、具体的な空間に対して計算ができること。

課題や試験のフィードバック方法

授業時間内で講評・解説の時間を設ける

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

授業用のテキストは特に指定しない。
講義録はpdf fileをmanabaで毎月の終わりに公開する。

自習用の参考文献として以下をあげる。
1. トポロジーの基礎 (上下）・河澄 響矢 ・東大出版
2. 代数的トポロジー・桝田幹也・朝倉書店
3. 位相幾何学・服部晶夫・岩波書店

その他特記事項

参考URL