科目ナンバー

SE-AG3-1B15

履修条件・関連科目等

「代数学３」の履修申請には「線型代数学１」「線形代数学２」「代数学序論」「代数学１」「代数学２」を履修していることが望ましい。環の準同型定理をある程度理解していることを前提として講義を進める。

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

19世紀前半のAbelとGaloisによる代数方程式の可解性の研究は、可換体論とGalois理論を生み出した。これらは代数学にとどまらず、数学全体に大きな発展をもたらした。本講義ではまず、体の拡大の基礎理論について説明する。つづいてGalois理論の基本定理を解説する。最後にGaloisの主定理を用いて、Abel-Ruffiniの定理「五次以上の代数方程式が代数的な解の公式を持たない」の証明を与える。
なお、講義の進行に応じて中間試験を実施する。

科目目的

学位授与方針にある「論理に裏付けられた論証力」「整合性を感知できる感性」そして「基本を理解した上での応用力」を修得することを目的とする。

到達目標

多項式環から体を構成する方法を体得すること。ここでは環の準同型定理が重要な役割を持つ。また、Galois対応によって代数方程式の代数的可解性の問題がGalois群の可解性の問題に翻訳される仕組みを理解すること。
具体的には、配付の演習問題あるいは参考書にある問題を自力で解くこと。その上で、本講で取り扱った事項をその根拠を含めて他者にそらで説明できるようになること。

授業計画と内容

第１回　環と体の定義
第２回　体の標数
第３回　生成される部分体
第４回　有限次拡大
第５回　拡大次数
第６回　代数拡大と超越拡大
第７回　最小多項式
第８回　作図可能性への応用
第９回　代数閉体と代数閉包
第１０回　体の埋め込みの個数と拡大次数
第１１回　正規拡大の定義と例
第１２回　正規拡大の性質
第１３回　最小分解体
第１４回　第１回から第１３回までの確認
第１５回　Frobenius写像
第１６回　有限体
第１７回　分離拡大の定義と例
第１８回　分離拡大の性質
第１９回　Galois拡大の定義と例
第２０回　Artinの定理
第２１回　Galois理論の基本定理
第２２回　Galois対応の例
第２３回　有限体のGalois理論
第２４回　1のべき根による拡大
第２５回　代数学の基本定理への応用
第２６回　作図可能性とGalois理論
第２７回　五次方程式の代数的解法の非存在
第２８回　第１５回から第２７回までの確認

授業時間外の学修の内容

その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

講義で配付する練習問題に講義の進行に応じて各自で取り組むこと。講義の後でテキストの関連する項目を復習し、講義内容を確認すること。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

課題や試験のフィードバック方法

授業時間内で講評・解説の時間を設ける

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

テキストは指定しない。参考書として
雪江明彦「代数学2　環と体とガロア理論」（日本評論社）
松坂和夫「代数系入門」（岩波書店）
を挙げておく。

その他特記事項

参考URL