科目ナンバー

SE-AN3-1B19

履修条件・関連科目等

微分積分学（数学Ａ，数学Ｂ，解析学１）と実解析学１の内容を習得していることを前提とする。

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

実解析学１に続き，「測度と（ルベーグ）積分」に関する基本事項として，一般の集合上の測度の構成，直積測度とフビニの定理，加法的集合関数とラドン・ニコディムの定理などを学ぶ。これらは微積分学の基本定理や反復積分などに対応する重要事項であり，実際的にも有用な定理群である。

科目目的

実解析学１に続き，現代解析学の基礎を成す「測度と積分」に関する基本事項を系統的に学ぶ。基礎概念を正確に理解して運用できるようにする。特に，フビニの定理，ラドン・ニコディムの定理などについて，それらの意味や意義を十分に理解し応用できるようにする。

到達目標

一般の集合上の測度と積分およびルベーグ空間に関する基本事項を理解し標準的な問題に応用出来るようになること。

授業計画と内容

１、ルベーグ測度の復習
２、一般の集合上の測度の定義
３、一般の集合上の外測度の構成
４、一般の集合上の測度の構成
５、カラテオドリ・ハーンの拡張定理
６、ルベーグ・スチルチェス測度
７、ルベーグ積分の復習I（定義）
８、ルベーグ積分の復習II（収束定理）
９、積測度
１０、測度の完備化
１１、集合に対するフビニの定理
１２、関数に対するフビニの定理
１３、ユークリッド空間上の積測度
１４、中間まとめ：ルベーグ積分とフビニの定理
１５、不定積分
１６、加法的集合関数
１７、ジョルダン分解
１８、絶対連続な集合関数
１９、ラドン・ニコディムの定理I（証明の準備）
２０、ラドン・ニコディムの定理II（証明のつづき）
２１、ルベーグの微分に関する定理I(maximal function)
２２、ルベーグの微分に関する定理II(ルベーグの微分定理)
２３、有界変動関数（基本性質）
２４、有界変動関数（ジョルダン分解）
２５、有界変動関数（ルベーグ積分における微積分の基本定理）
２６、ルベーグ空間の定義と基本性質
２７、ルベーグ空間の有用な不等式
２８、最終まとめ：ルベーグ空間

授業時間外の学修の内容

その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

授業内容をしっかり理解し疑問を残さないよう復習をすること。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

レポートや小テストの点数を加味する場合がある。

課題や試験のフィードバック方法

授業時間に限らず、manabaでフィードバックを行う

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

テキスト：
柴田良弘，ルベーグ積分論，内田老鶴圃
参考書：
伊藤清三，ルベーグ積分入門（数学選書 ４），裳華房
吉田洋一，ルベグ積分入門 （ちくま学芸文庫），筑摩書房
スタイン，シャカルチ著，実解析（プリンストン解析学講義III），日本評論社

その他特記事項

参考URL