科目ナンバー

SS-AG4-1B31

履修条件・関連科目等

関連科目として位相数学と幾何学１を履修済みであることが望ましい。これらについて必要な概念や事実は講義中に説明するが、証明をする時間を取ることはできない。

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

幾何学１に引き続き多様体の基礎概念を学ぶ。幾何学３では主に可微分多様体上の微分形式およびその積分について学ぶ。

科目目的

学生が本講義を通して多様体上の微分形式とその積分について学び、基本概念を理解・修得することを目的とする。

到達目標

本科目では以下を到達目標とする。
（１）微分形式の定義を理解する。
（２）微分形式の外微分を関数の全微分と関連付けて理解する。
（３）多様体の向き付け可能性を理解して、与えられた多様体が向き付け可能かどうか判定できるようになる。
（４）微分形式の積分の定義を理解する。また、どこで1の分割が必要となるかのアイデアを理解する。
（５）Stokes の定理を証明の仕組みも含めて理解する。

授業計画と内容

第１回　多様体論の復習
第２回　多重線型形式
　　　　ベクトル空間上の多重線型形式
第３回　交代形式
　　　　対称形式と交代形式、交代形式の外積
第４回　微分形式
　　　　微分形式の定義
第５回　微分形式 2
　　　　微分形式に定義される種々の演算
第６回　外微分 1
　　　　ベクトル場の括弧積、外微分の定義
第７回　外微分 2
　　　　外微分の局所的な表示と基本的な性質
第８回　微分形式の引き戻し
　　　　滑らかな写像による微分形式の引き戻し
第９回　de Rhamコホモロジー
　　　　de Rhamコホモロジーの定義、Poincaréの補題
第１０回　多様体の位相に関する注意
第１１回　多様体の向き付け
　　　　　多様体の向き付け可能性と微分形式を用いたその特徴付け
第１２回　微分形式の積分
第１３回　滑らかな境界を持つ領域
　　　　　滑らかな境界を持つ領域、微分形式の境界上での積分
第１４回　Stokesの定理
　　　　　Stokesの定理とその証明

授業時間外の学修の内容

指定したテキストやレジュメを事前に読み込むこと／授業終了後の課題提出

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

講義資料や参考文献を読み込み、前回までの内容をよく理解した上で講義に臨むこと。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

課題や試験のフィードバック方法

授業時間に限らず、manabaでフィードバックを行う

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

テキストの指定はしないが講義資料を配布する。また、参考文献として以下のものを挙げておく。
「多様体の基礎」・松本幸夫著・東京大学出版会・978-4130621038
「多様体入門」・松島与三著・裳華房・978-4785313173
「トゥー 多様体」・Loring W. Tu (著)、枡田幹也 (訳)、阿部拓 (訳)、堀口達也 (訳)・裳華房・978-4785315863
「Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups」・Frank W. Warner・Springer・978-1441928207

その他特記事項

参考URL