科目ナンバー

SS-AG4-1B32

履修条件・関連科目等

以下の項目は理解していることが望ましい。
1. 微積分
2. 線型代数
3. 位相空間論の初歩
4. 群論、環論の初歩

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

代数的位相幾何学の理論のうち特異ホモロジー論について、基礎から論じて特異ホモロジー群の位相不変性・ホモトピー 不変性を理解し，有限胞体複体の構造を持つ位相空間のホモロジー群の計算までの事項を習得することを目標とする。時間が許 せば、コホモロジー環や普遍係数定理、ポアンカレ双対定理なども扱いたい。

科目目的

代数的位相幾何学の基礎的な理論の一つである特異ホモロジーの理論を習得し、さまざまな位相空間の性質を理解すると ともに初等的なホモロジー代数を用いてその特異ホモロジー群を計算できるようになることを目的とする。またCW複体の 構造を持つ位相空間に対しては，有限胞体複体の構造を利用して特異ホモロジー群が計算できることについて理解することを目 的とする。

到達目標

位相空間に対し，その特異ホモロジー群が如何なるものか、また次元の異なるユークリッド空間がどうして同相でないかについて説明できるようになること、そして、具体的かつ基本的な位相空間に対して、その特異ホモロジー群を計算できるようになること等を到達目標とする。

授業計画と内容

（１）位相幾何学とはどういう分野かの理解と位相空間論の応用
（２）位相空間の特異ホモロジー群の定義
（３）特異ホモロジー群の位相不変性(関手性)
（４）写像のホモトピー、位相空間のホモトピー型
（５）プリズム作用素とその自然性
（６）プリズム作用素を用いた特異ホモロジー群のホモトピー不変性の証明
（７）簡約ホモロジー群とホモロジー代数の初歩
（８）位相空間対の特異ホモロジー群の完全系列
（９）切除定理とマイヤー・ヴィートリスの完全系列
（１０）特異ホモロジー群の計算例
（１１）ホモロジー群の応用例：ユークリッド空間の次元、不動点定理
（１２）有限胞体複体のホモロジー群と例
（１３）有限胞体複体のホモロジー群と特異ホモロジー群の同等性
（１４）コホモロジー群とさらに進んだ話題から

授業時間外の学修の内容

その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

授業で扱った内容をよく復習し、よく理解しておくこと。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

達成基準：ホモロジー群の定義や基本的な性質を理解し、具体的な空間に対して計算ができること。

課題や試験のフィードバック方法

授業時間内で講評・解説の時間を設ける

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

授業用のテキストは特に指定しない。
講義録はpdf fileをmanabaで毎月の終わりに公開する。

自習用の参考文献として以下をあげる。
1. トポロジーの基礎 (上下）・河澄 響矢 ・東大出版
2. 代数的トポロジー・桝田幹也・朝倉書店
3. 位相幾何学・服部晶夫・岩波書店

その他特記事項

参考URL