科目ナンバー

SG-AG5-1C40

履修条件・関連科目等

微分可能多様体に関する基本的知識を身に付けているのが望ましい.

授業で使用する言語

日本語／英語／ドイツ語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

幾何学において重要な概念である古典型単純リー群について、その基礎事項を具体的な計算に重点をおいて講義する。複素単純リー環の構造を調べる強力な方法論として、ルート系の概念、カルタン部分代数、ルート空間分解、カルタン行列、ディンキン図形について、具体例の具体的な計算の中で説明を加える。最後に応用として、SO(n)のリーマン幾何学、極小超曲面特に、クリフォード・トーラスやベロネーズサーフェースについて単位球面の埋め込みの構造を具体的に示し、未解決問題であるチャーン予想などについても言及する。

科目目的

幾何学分野の研究を主たる研究対象とする大学院生に対して、古典型複素単純リー群の構造を具体的な計算を中心とし解説して、幾何学分野の研究材料と研究手法の提供に資することを目的とする。

到達目標

４つの古典型複素単純リー環について、そのカルタン部分代数、キリング形式、ルート空間分解、カルタン行列、ディンキン図形すべての具体的計算を理解し、自分で実行できるようにすることを目標とする。

授業計画と内容

１．線形代数からの予備知識
２．行列によって定義される４つの古典型複素単純リー群の定義
３．複素単純リー環のカルタン部分代数とルート空間分解の定義
４．複素特殊線形群のリー環、カルタン部分代数とルート空間分解
５．複素特殊線形環のキリング形式とカルタン行列、ディンキン図形
６．偶数次元複素特殊直交群のリー環、カルタン部分代数とルート空間分解
７．偶数次元複素特殊直交リー環のキリング形式とカルタン行列、ディンキン図形
８．複素シンプレクティック線形群のリー環、カルタン部分代数とルート空間分解
９．複素シンプレクティック線形リー環のキリング形式とカルタン行列、ディンキン図形
１０．奇数次元複素特殊直交リー群のリー環、カルタン部分代数とルート空間分解
１１．奇数次元複素特殊直交リー環のキリング形式とカルタン行列、ディンキン図形
１２．SO(3)の５次元表現と４次元球面内のカルタン超曲面、およびベロネーズ曲面
１３．クリフォードトーラス
１４．極小超曲面とチャーン予想

授業時間外の学修の内容

指定したテキストやレジュメを事前に読み込むこと／授業終了後の課題提出／その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

計算としての基礎知識は線形代数学における行列の計算のみであるが、現れる計算はどれもかなりタフで相当労力のかかる計算になる。労を厭わず、全ての計算過程を自分の手で手抜きせずにやりつくす事が当該分野において、直観力と応用力を身に付けるのに不可欠である。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

レポートによる.

課題や試験のフィードバック方法

授業時間内で講評・解説の時間を設ける／授業時間に限らず、manabaでフィードバックを行う

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

ディスカッション、ディベート

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

その他

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

事前に講義ノートをWEB上に配信する。講義は黒板は補助として用い、スライドをプロジェクターで映写して行う。

実務経験のある教員による授業

はい

【実務経験有の場合】実務経験の内容

高等学校の教員として、１３年間の実務経験がある。

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

高等学校において、数学の授業を行ってきた経験から、幾何学教育について、大学や大学院に於ける学修内容との接続を意識した講義が出来る。

テキスト・参考文献等

講義の中で適宜文献を紹介する.

その他特記事項

参考URL

snagai@sci.u-toyama.ac.jp