科目ナンバー

SE-AN3-1B18

履修条件・関連科目等

微分積分学（数学Ａ、数学Ｂ、解析学第１）の内容および集合と位相の基礎を修得していることが望ましい。

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

リーマン積分は連続関数のように性質の良い関数を扱う際には問題ないが、より複雑な関数を扱ったり弱い条件下における積分と極限の順序交換を行ったりするには限界がある。このような問題点を解消する目的で導入され、現代の解析学（実解析・関数解析・偏微分方程式論・確率論など）において必須の道具である「ルベーグ積分」について学ぶ。

科目目的

前半の講義では、「長さ」や「面積」を一般化した概念である「（ルベーグ）測度」を学び、後半の講義ではこれをもとに「ルベーグ積分」を定義しその性質を学ぶ。ただし、本講義では簡単のためユークリッド空間上の測度と積分のみを扱う。

到達目標

「ルベーグ積分」に関する基本事項、特に、ルベーグ可測集合、ルベーグ測度、可測関数、可測関数の積分、積分に関連する一連の収束定理等の修得し標準的な問題に応用出来ること。

授業計画と内容

１，イントロダクション（リーマン積分からルベーグ積分へ）
２，区間とその体積
３，ルベーグ外測度・カントール集合
４，ルベーグ可測集合とルベーグ測度
５，ルベーグ可測集合の性質
６，ルベーグ測度の性質
７，ルベーグ測度の特徴付け
８，可測関数
９，階段関数
１０，非負関数のルベーグ積分
１１，単調収束定理とFatouの補題
１２，一般関数に対するルベーグ積分
１３，ルベーグの収束定理
１４，最終まとめ：ルベーグ測度とルベーグ積分

授業時間外の学修の内容

その他

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

授業内容をしっかり理解し疑問を残さないよう復習をすること。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

ただし、レポートや小テストの点数を加味する場合もある。

課題や試験のフィードバック方法

授業時間に限らず、manabaでフィードバックを行う

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

テキスト：柴田良弘，ルベーグ積分論，内田老鶴圃
参考書：
伊藤清三，ルベーグ積分入門（数学選書 ４），裳華房
吉田洋一，ルベグ積分入門 （ちくま学芸文庫），筑摩書房
スタイン，シャカルチ著，実解析（プリンストン解析学講義III），日本評論社

その他特記事項

参考URL