科目ナンバー

SG-AG5-1C38

履修条件・関連科目等

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

リーマン幾何学特に部分多様体論を研究する為の基礎事項について講義する。具体的には、逆関数定理、常微分方程式の解の存在と一意性定理、フロベニウスの定理、リー群のごく基本的な事、リー群の等質空間、球面や複素射影空間の枠束の構造とその応用などである。予備知識としては、位相空間論、古典的な曲線論・曲面論、多様体論の初歩程度で良い。線形代数学にはある程度習熟していることが望ましい。

科目目的

リーマン幾何学、特に部分多様体論を研究する為の基礎的事項について理解するとともに、基礎的な具体例についてそれらを適用することが出来る様になることを目的とする。

到達目標

常微分方程式の解の存在と一意性定理についてその証明を理解する。常微分方程式の解の初期値に対する微分可能性について理解する。フロベニウスの定理について証明も含めて理解して、具体的にそれを幾何学に適用出来る様になる。リーマン多様体の枠束について理解し、それを土台としリーマン多様体の構造方程式や、曲率、捩率などの不変量について理解する。リー群の等質空間に関する基本事項について理解し、ごく基本的な具体例について不変量等の計算が出来るようになる。

授業計画と内容

（１）逆写像の定理とその証明
（２）常微分方程式の解の存在と一意性定理
（３）フロベニウスの定理とその証明
（４）リー群の定義といくつかの具体例
（５）リー群の等質空間の基礎事項１
（６）リー群の等質空間の基礎事項２
（７）リーマン多様体の枠束
（８）　リーマン多様体のリーマン接続
（９）　第１構造方程式、第２構造方程式
（１０）リーマン部分多様体の適合枠束(adapted frame bundle)
（１１）球面の正規直交枠束としてのSO(n+1)とその構造方程式
（１２）複素射影空間のユニタリ枠束としてのPU(n+1)とその構造方程式
（１３）奇数次元球面のコンタクト枠束としてのU(n+1)とその構造方程式
（１４）球面や複素射影空間のいくつかの部分多様体とその幾何学的不変量の計算

授業時間外の学修の内容

指定したテキストやレジュメを事前に読み込むこと

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

講義中に出される演習問題を解いて、講義内容の理解と復習に努めること。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

レポートによって評価する。

課題や試験のフィードバック方法

授業時間内で講評・解説の時間を設ける

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

講義の際に、必要な資料を配付します。

その他特記事項

参考URL

snagai@sci.u-toyama.ac.jp