科目ナンバー

SE-AG4-1B31

履修条件・関連科目等

関連科目として位相数学と幾何学１を履修済みであることが望ましい。これらについて必要な概念や事実は講義中に説明するが、証明をする時間を取ることはできない。

授業で使用する言語

日本語

授業で使用する言語（その他の言語）

授業の概要

（可微分）多様体とは曲線や曲面の一般化として知られる空間概念であるが、大まかに言って微分積分学を展開することのできる空間であると説明することができる。本講義ではこの多様体についての基本事項を学ぶ。

科目目的

学生が本講義を通して多様体に関する基本的な定義と及び基礎知識を修得することを目的とする。

到達目標

本科目では以下を到達目標とする。
（１）多様体の定義を正しく理解して、具体例を通して説明できるようになる。
（２）可微分写像及び可微分関数の定義と基本的性質を理解する。
（３）接ベクトル空間の定義及びアイデアを理解する。
（４）部分多様体の定義を理解し、与えられた多様体の部分集合が（正則）部分多様体となるかどうか判定できるようになる。
（５）ベクトル場及び積分曲線を常微分方程式と関連付けて理解する。
（６）１パラメーター変換群とそのベクトル場との対応について理解する。

授業計画と内容

第１回　準備 1
　　　　位相空間の定義, 色々な位相空間
第２回　準備 2
　　　　連続写像、Eucld 空間上の可微分写像、逆関数定理
第３回　可微分多様体の定義
　　　　可微分多様体の定義と例
第４回　可微分構造
　　　　実射影空間、可微分多様体の可微分構造
第５回　可微分写像と可微分関数
第６回　接ベクトル空間
　　　　接ベクトル空間の定義と次元
第７回　可微分写像と可微分関数の微分
第８回　逆関数定理を巡って
　　　　可微分写像の局所的な振る舞い、正則点と臨界点、正則値と臨界値
第９回　はめ込みと埋め込み, 部分多様体 1
　　　　はめ込みと埋め込み、部分多様体、部分多様体への写像
第１０回　はめ込みと埋め込み, 部分多様体 2
　　　　　正則部分多様体とその特徴付け、正則値定理、部分多様体の例
第１１回　色々な可微分関数
　　　　　位相空間のコンパクト性の復習、多様体上の色々な可微分関数
第１２回　ベクトル場
　　　　　ベクトル場と微分作用素
第１３回　積分曲線
　　　　　ベクトル場の積分曲線、ベクトル場の完備性
第１４回　1 パラメータ変換群
　　　　　1 パラメータ変換群とそのベクトル場との対応

授業時間外の学修の内容

指定したテキストやレジュメを事前に読み込むこと／授業終了後の課題提出

授業時間外の学修の内容（その他の内容等）

講義資料や参考文献を読み込み、前回までの内容をよく理解した上で講義に臨むこと。

授業時間外の学修に必要な時間数／週

・毎週１回の授業が半期（前期または後期）または通年で完結するもの。１週間あたり４時間の学修を基本とします。
・毎週２回の授業が半期（前期または後期）で完結するもの。１週間あたり８時間の学修を基本とします。

成績評価の方法・基準

成績評価の方法・基準（備考）

課題や試験のフィードバック方法

授業時間に限らず、manabaでフィードバックを行う

課題や試験のフィードバック方法（その他の内容等）

アクティブ・ラーニングの実施内容

実施しない

アクティブ・ラーニングの実施内容（その他の内容等）

授業におけるICTの活用方法

実施しない

授業におけるICTの活用方法（その他の内容等）

実務経験のある教員による授業

いいえ

【実務経験有の場合】実務経験の内容

【実務経験有の場合】実務経験に関連する授業内容

テキスト・参考文献等

テキストの指定はしないが講義資料を配布する。また、参考文献として以下のものを挙げておく。
「多様体の基礎」・松本幸夫著・東京大学出版会・978-4130621038
「多様体入門」・松島与三著・裳華房・978-4785313173
「トゥー 多様体」・Loring W. Tu (著)、枡田幹也 (訳)、阿部拓 (訳)、堀口達也 (訳)・裳華房・978-4785315863
「Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups」・Frank W. Warner・Springer・978-1441928207

その他特記事項

参考URL